【Processing】球面の画像をMollweide Projection（モルワイデ図法）で投影する

成果物

ワイヤーフレーム

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ちょっとレトロな雰囲気の地図でよく見かけるあの形です。某飲料シリーズのロゴでも使われていた気がします。

画像

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前回のサンソン図法と少し似ていますが、端がとがっていないのが特徴です。

仕組み

こちらの式を使って計算することができます。
$\begin{array}{l} 球面上の経度\lambda ,緯度\varphi と、回転\lambda _{0} から、平面上での位置x,yを求める式です\\ x=\frac{2\sqrt{2}( \lambda -\lambda _{0})\cos( \theta )}{\pi }\\ y=\sqrt{2}\sin( \theta )\\ \theta と\varphi にはこのような関係があります。\theta は直接求めることができません。\\ 2\theta +\sin( 2\theta ) =\pi \sin( \varphi )\\ しかし、以下のニュートン法を使って繰り返し計算することで、\\ \varphi から\theta を求めることができます。\\ \theta _{n+1} =\theta _{n} -\frac{2\theta _{n} +\sin( 2\theta _{n}) -\pi \sin( \varphi )}{2+2\cos( 2\theta _{n})}\\ 逆変換\\ \varphi =\arcsin\left(\frac{2\theta +\sin 2\theta }{\pi }\right)\\ \lambda =\lambda _{0} +\frac{\pi x}{2R\sqrt{2}\cos \theta }\\ {\displaystyle \theta =\arcsin\left(\frac{y}{R\sqrt{2}}\right) \ } \end{array}$
画像を投影するときは、画面上の位置から逆変換して画像上の位置を求め、Bicubic補間で補完します。
nekodigi.hatenablog.com
こちらのサイトを参考にしました。
Mollweide Projection -- from Wolfram MathWorld